La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il numero irrazionale 1,6180339887... ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore
a
{\displaystyle a}
è medio proporzionale tra la minore
b
{\displaystyle b}
e la somma delle due
(
a
+
b
)
{\displaystyle (a+b)}
:
a
+
b
a
=
a
b
=
def
φ
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi }
Valgono pertanto le seguenti relazioni:
a
b
=
a
+
b
a
=
1
+
b
a
=
1
+
1
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\frac {a}{b}}}}
Considerando solo il primo e l'ultimo membro e tenendo conto della definizione di
φ
{\displaystyle \varphi }
possiamo anche scrivere
φ
=
1
+
1
φ
{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}
(1)da cui discende l'equazione polinomiale a coefficienti interi
φ
2
−
φ
−
1
=
0
{\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0}
(2)La soluzione positiva di tale equazione (unica ammissibile essendo
φ
{\displaystyle \varphi }
una quantità positiva per definizione) porta alla determinazione del valore della sezione aurea dato da:
φ
=
1
+
5
2
≈
1,618
0339887
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887}
(3)La sezione aurea è quindi un numero irrazionale (ovvero non rappresentabile mediante rapporto di numeri interi data la presenza di
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
nel numeratore della (3)) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi come evidenziato dalla (2)). Può essere approssimata effettuando il rapporto fra termini consecutivi
(
3
2
,
5
3
,
8
5
,
.
.
.
)
{\displaystyle ({\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},...)}
della successione di Fibonacci a cui è strettamente connessa.
I due segmenti
a
{\displaystyle a}
e
b
{\displaystyle b}
possono essere ottenuti graficamente come illustrato nella figura a fianco. La base del rettangolo è pari a
(
1
2
a
+
5
2
a
)
{\displaystyle ({\frac {1}{2}}a+{\frac {\sqrt {5}}{2}}a)}
e la sua altezza è pari ad
a
{\displaystyle a}
: il loro rapporto in base alla (3) dà proprio la sezione aurea.
Se nella (1) si sostituisce iterativamente alla
φ
{\displaystyle \varphi }
a denominatore tutto il secondo membro anch'esso pari a
φ
{\displaystyle \varphi }
otteniamo la frazione continua:
φ
=
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
.
.
.
{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}}
Un'altra rappresentazione di
φ
{\displaystyle \varphi }
come frazione continua è costituita dai quadrati dei numeri di Fibonacci e delle aree del rettangolo aureo:
φ
=
1
+
1
1
2
+
1
2
1
2
+
2
2
2
2
+
6
2
3
2
+
15
2
5
2
+
40
2
8
2
+
104
2
13
2
+
.
.
.
{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1^{2}+{\frac {1^{2}}{1^{2}+{\frac {2^{2}}{2^{2}+{\frac {6^{2}}{3^{2}+{\frac {15^{2}}{5^{2}+{\frac {40^{2}}{8^{2}+{\frac {104^{2}}{13^{2}+...}}}}}}}}}}}}}}}
Le sue proprietà geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte più grande e quella più piccola che si ripete all'infinito attraverso infinite suddivisioni. Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino.
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